Wartość bezwzględna
Definicja wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna liczby mówi, jak daleko ta liczba leży od zera. To prosta idea, ale na maturze wraca w definicjach, równaniach, nierównościach i zadaniach z parametrem.
Sprawdź swoją wiedzę
Krótki quiz pomoże szybko wychwycić, które pojęcia warto jeszcze powtórzyć.
Czym jest moduł?
Wartość bezwzględną liczby x zapisujemy jako |x| i czytamy: moduł x albo wartość bezwzględna x.
Moduł usuwa informację o kierunku na osi liczbowej, ale zostawia informację o odległości od zera. Dlatego wynik wartości bezwzględnej nigdy nie jest ujemny.
Zapis z użyciem klamry
Liczba nie jest ujemna, więc zostaje taka sama.
Liczba jest ujemna, więc bierzemy liczbę przeciwną.
Intuicja: moduł to odległość
Najkrócej: |x| to odległość liczby x od zera na osi liczbowej. Liczby 5 i -5 leżą po przeciwnych stronach zera, ale obie są od niego oddalone o 5 jednostek, więc |5| = 5 oraz |-5| = 5.
Wartość bezwzględna nie pyta, czy idziemy w lewo, czy w prawo. Pyta tylko, jak daleko. Właśnie dlatego moduł liczby ujemnej jest dodatni, a moduł liczby dodatniej zostaje bez zmian.
Ta intuicja bardzo pomaga w zadaniach typu |x - 3|. Wyrażenie |x - 3| oznacza odległość liczby x od liczby 3, a nie tylko mechaniczne kreski wokół wzoru.
Podstawowe własności
Poniższe własności warto znać nie tylko jako wzory. Każda z nich wynika z tego, że moduł mierzy odległość albo zamienia liczbę na jej nieujemną wersję.
| Własność | Nazwa | Proste wyjaśnienie |
|---|---|---|
| |a| >= 0 | Nieujemność | Moduł nigdy nie daje liczby ujemnej, bo odległość nie może być ujemna. |
| |a| = |-a| | Liczby przeciwne | Liczby a i -a są tak samo daleko od zera. |
| |ab| = |a| · |b| | Iloczyn | Można najpierw pomnożyć liczby i wziąć moduł albo najpierw wziąć moduły i je pomnożyć. |
| |a / b| = |a| / |b|, b != 0 | Iloraz | Moduł ułamka to iloraz modułów licznika i mianownika. Mianownik nie może być zerem. |
| |a| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 | Zero | Tylko liczba 0 leży w odległości 0 od zera. |
| |a + b| <= |a| + |b| | Nierówność trójkąta | Droga bezpośrednia nie jest dłuższa niż droga przez punkt pośredni. |
| ||a| - |b|| <= |a - b| | Różnica odległości | Różnica odległości od zera nie może być większa niż odległość między liczbami. |
| |a|^2 = a^2 | Kwadrat modułu | Po podniesieniu do kwadratu znak i tak znika, więc moduł nie zmienia wyniku. |
| |a| < r oznacza -r < a < r, gdy r > 0 | Nierówność mniejsza | Liczba a leży bliżej zera niż r jednostek. |
| |a| > r oznacza a < -r lub a > r, gdy r > 0 | Nierówność większa | Liczba a leży dalej niż r jednostek od zera, więc jest po lewej albo po prawej stronie. |
Uwaga na znak minus przed modułem
Wyrażenie -|a| jest zawsze mniejsze lub równe zero. Na przykład -|-4| = -4, bo najpierw liczymy moduł, a dopiero potem minus przed nim.
Moduł całego wyrażenia
W |2x - 6| najpierw badamy znak całego wyrażenia 2x - 6, a nie samego x. Granicą przypadków jest x = 3.
Odległość między liczbami
Odległość liczb a i b na osi można zapisać jako |a - b| albo |b - a|. Oba zapisy dają ten sam wynik.
Równania z modułem
Równanie |A| = c ma sens tylko dla c >= 0. Gdy c > 0, zwykle przechodzimy do dwóch przypadków: A = c albo A = -c.
Kiedy można usunąć moduł?
Modułu nie usuwa się dlatego, że przeszkadza. Najpierw trzeba wiedzieć, jaki znak ma wyrażenie w środku. Dopiero wtedy można zastąpić kreski odpowiednim wzorem.
Środek jest nieujemny
|A| = A
Jeżeli A >= 0, to moduł nic nie zmienia. Przykład: gdy x >= 2, |x - 2| = x - 2.
Środek jest ujemny
|A| = -A
Jeżeli A < 0, to bierzemy wyrażenie przeciwne. Przykład: gdy x < 2, |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2.
Nie znamy znaku
|A| = ?
Trzeba rozpatrzyć przypadki albo użyć interpretacji geometrycznej. Nie wolno po prostu skasować kresek.
Przykłady krok po kroku
Poniższe przykłady są proste, ale pokazują najważniejszy nawyk: najpierw policz lub oceń wyrażenie w module, potem zdecyduj, czy zostaje bez zmian, czy zmienia znak.
Liczba dodatnia
|7| = 7
7 jest po prawej stronie zera, więc jej odległość od zera wynosi 7.
Liczba ujemna
|-4| = 4
-4 leży 4 jednostki od zera, więc wynik jest dodatni.
Zero
|0| = 0
Zero jest oddalone od zera o 0 jednostek.
Najpierw działanie w środku
|2 - 8| = |-6| = 6
Najpierw liczymy 2 - 8 = -6, dopiero potem bierzemy moduł.
Suma modułów
|-3| + |5| = 3 + 5 = 8
Każdy moduł liczymy osobno, potem dodajemy wyniki.
Minus przed modułem
-|-9| = -9
Moduł z -9 daje 9, a minus stojący przed modułem zostaje.
Iloczyn
|-2 · 6| = |-12| = 12
Można też użyć własności: |-2| · |6| = 2 · 6 = 12.
Iloraz
|-15 / 3| = |-5| = 5
Najpierw dzielimy, potem bierzemy moduł. Równoważnie: |-15| / |3| = 15 / 3 = 5.
Wyrażenie liniowe
dla x = 1: |x - 4| = |1 - 4| = 3
Podstawiamy x i liczymy środek modułu.
Usuwanie modułu w przedziale
gdy x >= 3: |x - 3| = x - 3
W tym przedziale środek x - 3 jest nieujemny.
Drugi przedział
gdy x < 3: |x - 3| = -x + 3
W tym przedziale środek x - 3 jest ujemny, więc zmieniamy znak całego wyrażenia.
Proste równanie
|x| = 5 daje x = -5 lub x = 5
Szukamy liczb oddalonych od zera o 5 jednostek.
Równanie przesunięte
|x - 2| = 4 daje x = -2 lub x = 6
Szukamy liczb oddalonych od 2 o 4 jednostki.
Nierówność bliżej zera
|x| < 3 daje -3 < x < 3
x ma leżeć w odległości mniejszej niż 3 od zera.
Nierówność dalej od zera
|x| >= 2 daje x <= -2 lub x >= 2
x ma być co najmniej 2 jednostki od zera.
Typowe błędy uczniów
Większość błędów z modułem bierze się z pośpiechu: uczeń usuwa kreski, zanim sprawdzi znak wyrażenia w środku.
Kasowanie kresek bez warunku
|x - 3| = x - 3 zawsze
|x - 3| = x - 3 tylko dla x >= 3
Dla x < 3 wyrażenie x - 3 jest ujemne, więc moduł zmienia jego znak.
Zgubienie minusa przed modułem
-|-5| = 5
-|-5| = -5
Najpierw liczymy moduł: |-5| = 5. Minus przed modułem nadal stoi przed wynikiem.
Jedno rozwiązanie zamiast dwóch
|x| = 7, więc x = 7
|x| = 7, więc x = -7 lub x = 7
Dwie liczby leżą 7 jednostek od zera: jedna po lewej, druga po prawej.
Rozwiązanie równania z liczbą ujemną
|x - 1| = -3 ma rozwiązanie
|x - 1| = -3 nie ma rozwiązań
Moduł nie może być równy liczbie ujemnej.
Błędne nawiasy przy zmianie znaku
|2x - 6| = -2x - 6 dla x < 3
|2x - 6| = -(2x - 6) = -2x + 6
Gdy zmieniamy znak wyrażenia, zmieniamy znak każdego składnika.
Zapamiętaj
Moduł to odległość
Jeżeli nie wiesz, co zrobić, pomyśl o osi liczbowej. |x - a| oznacza odległość x od a.
Wynik modułu jest nieujemny
|A| nigdy nie jest mniejsze od zera. Równania typu |A| = -5 od razu nie mają rozwiązań.
Usuwasz moduł dopiero po sprawdzeniu znaku
Dla A >= 0 mamy |A| = A, a dla A < 0 mamy |A| = -A.
Dwa przypadki są normalne
W równaniach i nierównościach moduł często dzieli zadanie na kilka prostszych fragmentów.
Najczęściej spotykane zadania maturalne
Na maturze wartość bezwzględna rzadko pojawia się tylko jako definicja. Najczęściej trzeba połączyć definicję z osią liczbową, równaniem, nierównością albo wykresem.
Obliczanie wartości wyrażenia
Podstawiasz liczbę, liczysz środek modułu i dopiero potem bierzesz wartość bezwzględną.
- |2 - 9|
- |-3| + |4 - 10|
- -|5 - 8|
Równania z jednym modułem
Najczęściej korzystasz z faktu, że |A| = c daje A = c lub A = -c, gdy c > 0.
- |x - 4| = 6
- |2x + 1| = 5
- |x + 7| = 0
Nierówności z modułem
Dla znaku < rozwiązaniem jest zwykle przedział między dwiema liczbami, a dla znaku > suma dwóch przedziałów.
- |x| < 4
- |x - 2| >= 5
- |3x + 6| <= 12
Interpretacja geometryczna
Zadanie pyta o punkty oddalone od danej liczby o określoną liczbę jednostek albo o przedział takich punktów.
- |x - 3| = 7
- |x + 1| < 2
- |x - a| = r
Wyrażenia z kilkoma modułami
Zaznaczasz miejsca zerowe wyrażeń w modułach i dzielisz oś na przedziały.
- |x - 1| + |x + 2|
- |x| + |x - 3| = 5
- |x + 4| - |x - 2|
Wykresy funkcji z modułem
Często odbijasz część wykresu leżącą pod osią OX albo analizujesz przesunięcia typu |x - a|.
- y = |x|
- y = |x - 2|
- y = |f(x)|
Następny krok
Jeżeli definicja jest już jasna, przejdź do interpretacji geometrycznej. Tam moduł staje się odległością na osi liczbowej, co znacznie ułatwia równania i nierówności.
Przejdź do osi liczbowej