Wartość bezwzględna
W tym dziale poznasz moduł od podstaw: od prostej definicji, przez oś liczbową, aż po równania i nierówności spotykane na maturze.
Czym jest wartość bezwzględna?
Wartość bezwzględna liczby mówi, jak daleko ta liczba leży od zera na osi liczbowej. Nie interesuje nas kierunek, tylko odległość.
Dlatego moduł liczby dodatniej zostaje taki sam, a moduł liczby ujemnej zmienia znak na przeciwny. Wynik nigdy nie jest ujemny.
Najważniejszy zapis
|5| = 5 oraz |-5| = 5
Plan działu
Co znajdziesz w podstronach?
Przejdź przez temat w wygodnej kolejności albo wybierz tylko ten fragment, którego teraz potrzebujesz.
Teoria
Definicja i własności
Poznaj zapis |x|, definicję z klamrą, podstawowe własności i przykłady prostych obliczeń.
Geometria
Interpretacja geometryczna
Zobacz moduł jako odległość na osi liczbowej: od zera albo od wybranej liczby.
Równania
Równania z modułem
Naucz się rozwiązywać równania typu |x - a| = r oraz zadania z kilkoma modułami.
Nierówności
Nierówności z modułem
Ćwicz zamianę nierówności na przedziały i zaznaczanie rozwiązań na osi.
Metody
Metody rozwiązywania
Sprawdź, kiedy wybrać definicję, interpretację geometryczną albo podział osi na przedziały.
Czego nauczysz się w tym dziale?
Rozpoznawać moduł jako odległość
Zrozumiesz, dlaczego |x| nie może być ujemne i jak czytać wyrażenia typu |x - 3|.
Rozpisywać przypadki
Nauczysz się decydować, kiedy wyrażenie pod modułem zostaje bez zmian, a kiedy zmienia znak.
Rozwiązywać równania i nierówności
Przećwiczysz zadania od prostych przykładów po sytuacje z kilkoma przedziałami.
Dobierać metodę do zadania
Zobaczysz, kiedy szybciej myśleć geometrycznie, a kiedy bezpieczniej użyć definicji.
Najczęstsze zastosowania
Odległość na osi liczbowej
Wyrażenie |x - a| mówi, ile jednostek dzieli x od liczby a.
Równania z dwiema odpowiedziami
Z równania |x| = 4 dostajemy x = -4 lub x = 4, bo oba punkty są tak samo daleko od zera.
Przedziały w nierównościach
Nierówność |x - 2| < 5 opisuje liczby położone bliżej niż 5 jednostek od 2.
Gdzie pojawia się moduł?
Oto krótkie przykłady, które pokazują typowe maturalne intuicje.
Obliczanie wartości|-8| = 8
Odległość od punktu|x - 3| = 2 oznacza x = 1 lub x = 5
Nierówność jako przedział|x| <= 4 oznacza -4 <= x <= 4
Podział na przypadki|x + 1| wymaga sprawdzenia znaku wyrażenia x + 1
Wskazówka
Najpierw pytaj o odległość
Jeśli zadanie da się odczytać jako odległość od punktu, często rozwiążesz je szybciej na osi liczbowej niż przez długie rachunki.
Ciekawostka
Moduł ukrywa znak
Liczby -7 i 7 mają różne znaki, ale ten sam moduł. Moduł zapamiętuje odległość, a nie stronę osi.