Arkusznik
plen

Wartość bezwzględna

Nierówności z wartością bezwzględną

Nierówności z modułem najłatwiej czytać jako pytanie o odległość: czy punkt leży bliżej, dalej, czy dokładnie na granicy.

|x| < a
|x - a| > r
Przedziały rozwiązań

Nierówności typu |x| względem zera

Zakładamy a > 0. Moduł |x| oznacza odległość liczby x od zera, więc znaki < i <= wybierają środek przedziału, a > i >= wybierają dwie zewnętrzne części osi.

|x| < a

Interpretacja geometryczna

Szukamy punktów, których odległość od zera jest mniejsza niż a. Leżą ściśle między -a i a.

Rozwiązanie algebraiczne

Z definicji odległości: |x| < a jest równoważne nierówności podwójnej -a < x < a.

Przykład

Dla |x| < 5 rozwiązaniem jest x ∈ (-5, 5).

Zbiór rozwiązań

x ∈ (-a, a)

Krok po kroku

1.Upewnij się, że a > 0.

2.Zaznacz na osi punkty -a oraz a.

3.Wybierz punkty między nimi, bez końców.

4.Zapisz przedział otwarty.

Interpretacja geometryczna

Wybierz wariant

Nierówność

|x| < 2

Przedział

x ∈ (-2, 2)

-2
0
2

Szukamy punktów, których odległość od zera jest mniejsza niż a. Leżą ściśle między -a i a.

|x| <= a

Interpretacja geometryczna

Szukamy punktów oddalonych od zera najwyżej o a jednostek. Punkty -a i a też należą do rozwiązania.

Rozwiązanie algebraiczne

Nierówność |x| <= a daje -a <= x <= a.

Przykład

Dla |x| <= 3 rozwiązaniem jest x ∈ [-3, 3].

Zbiór rozwiązań

x ∈ [-a, a]

Krok po kroku

1.Upewnij się, że a > 0.

2.Zaznacz granice -a i a.

3.Ponieważ jest <=, dołącz obie granice.

4.Zapisz przedział domknięty.

Interpretacja geometryczna

Wybierz wariant

Nierówność

|x| <= 2

Przedział

x ∈ [-2, 2]

-2
0
2

Szukamy punktów oddalonych od zera najwyżej o a jednostek. Punkty -a i a też należą do rozwiązania.

|x| > a

Interpretacja geometryczna

Szukamy punktów dalej niż a jednostek od zera. Leżą na lewo od -a albo na prawo od a.

Rozwiązanie algebraiczne

Nierówność |x| > a rozbijamy na dwa warunki: x < -a lub x > a.

Przykład

Dla |x| > 4 rozwiązaniem jest x ∈ (-∞, -4) ∪ (4, ∞).

Zbiór rozwiązań

x ∈ (-∞, -a) ∪ (a, ∞)

Krok po kroku

1.Upewnij się, że a > 0.

2.Zaznacz punkty -a oraz a.

3.Wybierz zewnętrzne części osi.

4.Nie dołączaj granic, bo znak jest ostry.

Interpretacja geometryczna

Wybierz wariant

Nierówność

|x| > 2

Przedział

x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞)

-2
0
2

Szukamy punktów dalej niż a jednostek od zera. Leżą na lewo od -a albo na prawo od a.

|x| >= a

Interpretacja geometryczna

Szukamy punktów oddalonych od zera co najmniej o a jednostek. Granice -a i a należą do rozwiązania.

Rozwiązanie algebraiczne

Nierówność |x| >= a daje x <= -a lub x >= a.

Przykład

Dla |x| >= 2 rozwiązaniem jest x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, ∞).

Zbiór rozwiązań

x ∈ (-∞, -a] ∪ [a, ∞)

Krok po kroku

1.Upewnij się, że a > 0.

2.Zaznacz punkty graniczne -a i a.

3.Wybierz zewnętrzne części osi.

4.Dołącz granice, bo znak zawiera równość.

Interpretacja geometryczna

Wybierz wariant

Nierówność

|x| >= 2

Przedział

x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

-2
0
2

Szukamy punktów oddalonych od zera co najmniej o a jednostek. Granice -a i a należą do rozwiązania.

Przesunięcie środka: |x - a|

Wyrażenie |x - a| mierzy odległość x od punktu a. Promień r wyznacza dwa punkty graniczne: a - r oraz a + r.

Nierówności typu |x - a| z promieniem r

Zakładamy r > 0. To te same cztery schematy, tylko środek przedziału jest przesunięty z 0 do a.

|x - a| < r

Interpretacja geometryczna

x leży bliżej niż r jednostek od punktu a.

Rozwiązanie algebraiczne

Zapisujemy -r < x - a < r, a potem dodajemy a do każdej części.

Przykład

Dla |x - 2| < 3 rozwiązaniem jest x ∈ (-1, 5).

Zbiór rozwiązań

x ∈ (a - r, a + r)

Krok po kroku

1.Sprawdź, że r > 0.

2.Zamień moduł na nierówność podwójną: -r < x - a < r.

3.Dodaj a po lewej, w środku i po prawej.

4.Otrzymujesz przedział otwarty.

Interpretacja geometryczna

Wybierz wariant

Nierówność

|x - 2| < 3

Przedział

x ∈ (-1, 5)

-1
2
5

x leży bliżej niż r jednostek od punktu a.

|x - a| <= r

Interpretacja geometryczna

x leży nie dalej niż r jednostek od punktu a.

Rozwiązanie algebraiczne

Zapisujemy -r <= x - a <= r i dodajemy a do każdej części.

Przykład

Dla |x + 1| <= 4 rozwiązaniem jest x ∈ [-5, 3].

Zbiór rozwiązań

x ∈ [a - r, a + r]

Krok po kroku

1.Sprawdź, że r > 0.

2.Zapisz -r <= x - a <= r.

3.Dodaj a do każdej strony nierówności podwójnej.

4.Dołącz oba końce przedziału.

Interpretacja geometryczna

Wybierz wariant

Nierówność

|x - 2| <= 3

Przedział

x ∈ [-1, 5]

-1
2
5

x leży nie dalej niż r jednostek od punktu a.

|x - a| > r

Interpretacja geometryczna

x leży dalej niż r jednostek od punktu a, czyli poza odcinkiem granicznym.

Rozwiązanie algebraiczne

Rozbijamy na x - a < -r lub x - a > r, a potem dodajemy a.

Przykład

Dla |x - 3| > 2 rozwiązaniem jest x ∈ (-∞, 1) ∪ (5, ∞).

Zbiór rozwiązań

x ∈ (-∞, a - r) ∪ (a + r, ∞)

Krok po kroku

1.Sprawdź, że r > 0.

2.Zapisz dwa przypadki: x - a < -r lub x - a > r.

3.Dodaj a w obu nierównościach.

4.Połącz dwa zewnętrzne przedziały sumą.

Interpretacja geometryczna

Wybierz wariant

Nierówność

|x - 2| > 3

Przedział

x ∈ (-∞, -1) ∪ (5, ∞)

-1
2
5

x leży dalej niż r jednostek od punktu a, czyli poza odcinkiem granicznym.

|x - a| >= r

Interpretacja geometryczna

x leży co najmniej r jednostek od punktu a, więc granice też spełniają warunek.

Rozwiązanie algebraiczne

Rozbijamy na x - a <= -r lub x - a >= r, a potem dodajemy a.

Przykład

Dla |x + 2| >= 5 rozwiązaniem jest x ∈ (-∞, -7] ∪ [3, ∞).

Zbiór rozwiązań

x ∈ (-∞, a - r] ∪ [a + r, ∞)

Krok po kroku

1.Sprawdź, że r > 0.

2.Zapisz x - a <= -r lub x - a >= r.

3.Dodaj a w obu częściach.

4.Dołącz końce przedziałów zewnętrznych.

Interpretacja geometryczna

Wybierz wariant

Nierówność

|x - 2| >= 3

Przedział

x ∈ (-∞, -1] ∪ [5, ∞)

-1
2
5

x leży co najmniej r jednostek od punktu a, więc granice też spełniają warunek.

Nierówności wymagające rozpatrywania przypadków

Jeżeli po prawej stronie pojawia się wyrażenie z x albo moduł nie ma postaci czystej odległości od stałego punktu, najbezpieczniej rozpatrzyć znak wyrażenia pod modułem.

|x - 2| <= x + 4

Jeden moduł i wyrażenie po prawej stronie

Interpretacja geometryczna

Lewa strona jest odległością od 2, a prawa strona zmienia się razem z x. Nie można od razu użyć promienia stałego.

Rozwiązanie algebraiczne

Punkt podziału to x = 2. Dodatkowo prawa strona musi być nieujemna, ale w rozwiązaniu przypadków ten warunek wyjdzie naturalnie.

Krok po kroku

  1. 1.

    Rozpatrz przypadek x < 2.

    |x - 2| = -x + 2

    -x + 2 <= x + 4

  2. 2.

    Rozwiąż nierówność i przetnij z warunkiem przypadku.

    -x + 2 <= x + 4

    -2 <= 2x

    x >= -1

    x ∈ [-1, 2)

  3. 3.

    Rozpatrz przypadek x >= 2.

    |x - 2| = x - 2

    x - 2 <= x + 4

  4. 4.

    Sprawdź, czy nierówność jest prawdziwa na całym przedziale.

    x - 2 <= x + 4

    -2 <= 4

    x ∈ [2, ∞)

  5. 5.

    Połącz wyniki z obu przypadków.

    [-1, 2) ∪ [2, ∞) = [-1, ∞)

Zbiór rozwiązań

x ∈ [-1, ∞)

-1
2

x ∈ [-1, ∞)

Nierówności z wieloma modułami

Przy wielu modułach każdy moduł może zmieniać wzór w innym miejscu. Dlatego dzielimy oś wszystkimi miejscami zerowymi wyrażeń pod modułami.

|x - 1| + |x + 2| < 7

Dwa moduły i suma odległości

Interpretacja geometryczna

Suma odległości od punktów 1 i -2 ma być mniejsza niż 7.

Rozwiązanie algebraiczne

Punkty podziału to x = -2 oraz x = 1. Rozwiązujemy nierówność osobno na trzech przedziałach.

Krok po kroku

  1. 1.

    Rozpatrz przedział x < -2.

    |x - 1| + |x + 2| = -x + 1 - x - 2

    -2x - 1 < 7

    x > -4

    x ∈ (-4, -2)

  2. 2.

    Rozpatrz przedział -2 <= x < 1.

    |x - 1| + |x + 2| = -x + 1 + x + 2

    3 < 7

    x ∈ [-2, 1)

  3. 3.

    Rozpatrz przedział x >= 1.

    |x - 1| + |x + 2| = x - 1 + x + 2

    2x + 1 < 7

    x < 3

    x ∈ [1, 3)

  4. 4.

    Połącz trzy części rozwiązania.

    (-4, -2) ∪ [-2, 1) ∪ [1, 3) = (-4, 3)

Zbiór rozwiązań

x ∈ (-4, 3)

-4
-2
1
3

x ∈ (-4, 3)

Przykłady maturalne

Na maturze najczęściej trzeba szybko rozpoznać typ nierówności, poprawnie zaznaczyć końce przedziałów i sprawdzić warunki z rozpatrywanych przypadków.

|2x - 6| <= 8

Przykład zamkniętego przedziału

Interpretacja geometryczna

Wyrażenie |2x - 6| = 2|x - 3|, więc odległość x od 3 jest nie większa niż 4.

Rozwiązanie algebraiczne

Zapisujemy -8 <= 2x - 6 <= 8 i rozwiązujemy nierówność podwójną.

Krok po kroku

  1. 1.

    Zapisz nierówność podwójną i dodaj 6.

    -8 <= 2x - 6 <= 8

    -2 <= 2x <= 14

  2. 2.

    Podziel każdą część przez 2.

    -1 <= x <= 7

  3. 3.

    Uwzględnij domknięte końce przedziału.

    x ∈ [-1, 7]

Zbiór rozwiązań

x ∈ [-1, 7]

-1
3
7

x ∈ [-1, 7]

|3 - x| > 4

Przykład dwóch przedziałów

Interpretacja geometryczna

|3 - x| = |x - 3|, więc x ma leżeć dalej niż 4 jednostki od 3.

Rozwiązanie algebraiczne

Rozbijamy na x - 3 < -4 lub x - 3 > 4.

Krok po kroku

  1. 1.

    Rozwiąż lewy przypadek.

    x - 3 < -4

    x < -1

  2. 2.

    Rozwiąż prawy przypadek.

    x - 3 > 4

    x > 7

  3. 3.

    Połącz przedziały zewnętrzne bez końców.

    x ∈ (-∞, -1) ∪ (7, ∞)

Zbiór rozwiązań

x ∈ (-∞, -1) ∪ (7, ∞)

-1
3
7

x ∈ (-∞, -1) ∪ (7, ∞)

|x + 1| > 2x - 1

Przykład wymagający przypadków

Interpretacja geometryczna

Lewa strona jest odległością od -1, ale prawa strona zależy od x, więc nie jest stałym promieniem.

Rozwiązanie algebraiczne

Dzielimy oś w punkcie x = -1 i rozwiązujemy nierówność na każdym przedziale.

Krok po kroku

  1. 1.

    Rozpatrz przypadek x < -1.

    |x + 1| = -x - 1

    -x - 1 > 2x - 1

    x < 0

    x ∈ (-∞, -1)

  2. 2.

    Rozpatrz przypadek x >= -1.

    |x + 1| = x + 1

    x + 1 > 2x - 1

    x < 2

    x ∈ [-1, 2)

  3. 3.

    Połącz wyniki.

    (-∞, -1) ∪ [-1, 2) = (-∞, 2)

Zbiór rozwiązań

x ∈ (-∞, 2)

-1
2

x ∈ (-∞, 2)

Najczęstsze błędy

Większość pomyłek wynika z automatycznego przepisywania wzorów bez sprawdzenia znaku nierówności i tego, czy końce przedziałów należą do rozwiązania.

Mylenie środka z promieniem

W |x - a| < r środkiem jest a, a promieniem r. Końce to a - r oraz a + r.

Zamiana sumy przedziałów na część wspólną

Dla |x| > a wynik to dwa zewnętrzne przedziały połączone słowem lub.

Gubienie równości

Znaki <= i >= oznaczają domknięte końce przedziałów. Znaki < i > oznaczają końce otwarte.

Brak sprawdzenia przypadku

Jeżeli rozwiązujesz na przedziale, końcowy wynik musi należeć do tego przedziału.

Jak szybko rozpoznać typ nierówności?

Najpierw sprawdź, czy moduł porównujesz ze stałą dodatnią. Jeśli tak, użyj geometrii. Jeśli po prawej stronie jest x albo masz wiele modułów, przejdź do przypadków.

Jedna odległość od zera

|x| < a albo |x| > a. Środek jest w 0, granice to -a i a.

Jedna odległość od punktu

|x - a| < r albo |x - a| > r. Środek jest w a, granice to a - r i a + r.

Prawa strona zawiera x

Nie traktuj jej jak stałego promienia. Rozpatrz przypadki albo sprawdź warunki nieujemności.

Wiele modułów

Znajdź miejsca zerowe wszystkich wyrażeń pod modułami i podziel nimi oś liczbową.

Tabela podsumowująca

W tabeli zakładamy a > 0 oraz r > 0. To podstawowe schematy, do których sprowadza się większość prostych nierówności z modułem.

TypWarunekGeometriaZbiór rozwiązań
|x| < aa > 0bliżej niż a od zera(-a, a)
|x| <= aa > 0nie dalej niż a od zera[-a, a]
|x| > aa > 0dalej niż a od zera(-∞, -a) ∪ (a, ∞)
|x| >= aa > 0co najmniej a od zera(-∞, -a] ∪ [a, ∞)
|x - a| < rr > 0bliżej niż r od a(a - r, a + r)
|x - a| <= rr > 0nie dalej niż r od a[a - r, a + r]
|x - a| > rr > 0dalej niż r od a(-∞, a - r) ∪ (a + r, ∞)
|x - a| >= rr > 0co najmniej r od a(-∞, a - r] ∪ [a + r, ∞)