Wartość bezwzględna
Na osi liczbowej moduł jest odległością. To najkrótsza intuicja, która pomaga rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Wartość bezwzględna usuwa informację o kierunku, ale zostawia informację o długości. Na osi liczbowej pytanie o moduł prawie zawsze można przeczytać jako pytanie: jak daleko leży punkt?
Liczba x jest punktem na osi liczbowej. Wartość |x| mówi, ile jednostek trzeba przejść od zera do tego punktu.
Dlatego |3| = 3 i |-3| = 3. Punkty 3 oraz -3 leżą po różnych stronach zera, ale są od niego tak samo daleko.
Przykład
|-6| = 6
Liczba -6 leży po lewej stronie zera, ale jej odległość od zera wynosi 6 jednostek.
Interaktywny diagram osi
Wybierz liczbę x
Aktualny moduł
|-6|
Punkt -6 leży po lewej stronie zera, ale odległość od zera ma długość 6.
Wartość: |-6| = 6
Punkt -6 leży po lewej stronie zera, ale odległość od zera ma długość 6.
Wyrażenie |x - a| nie mierzy odległości od zera, tylko od liczby a. Punkt a staje się nowym środkiem obserwacji.
Jeżeli |x - 3| = 5, to x jest oddalone od 3 o pięć jednostek. Można iść pięć jednostek w lewo albo pięć jednostek w prawo, więc x = -2 albo x = 8.
Przykład
|x - 2| = 3
Szukamy liczb oddalonych od 2 o trzy jednostki, więc rozwiązania leżą symetrycznie: x = -1 albo x = 5.
Interaktywny diagram osi
Wybierz wartość a
Aktualne równanie
|x + 1| = 5
Punkt -1 jest środkiem. Liczby -6 i 4 leżą po obu stronach w odległości 5.
Rozwiązania: x = -6 lub x = 4
Punkt -1 jest środkiem. Liczby -6 i 4 leżą po obu stronach w odległości 5.
Odległość między liczbami x i y zapisujemy jako |x - y| albo |y - x|. Kolejność odejmowania nie zmienia wyniku, bo odległość nie ma znaku.
To bardzo wygodne, gdy w zadaniu trzeba opisać, jak daleko od siebie leżą dwa punkty, a nie który z nich jest większy.
Przykład
|-4 - 3| = 7
Punkty -4 i 3 leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość między nimi ma długość 7.
Interaktywny diagram osi
Wybierz parę liczb
Odległość
|7 - 2|
Punkty 2 i 7 leżą po tej samej stronie zera. Odcinek między nimi ma długość 5.
Wynik: |7 - 2| = 5
Punkty 2 i 7 leżą po tej samej stronie zera. Odcinek między nimi ma długość 5.
Na osi liczbowej moduł zamienia punkt na długość odcinka. Znak liczby mówi, po której stronie zera leży punkt, a moduł mówi, jak długa jest droga do zera.
W zadaniach z równaniami i nierównościami warto najpierw zaznaczyć punkt odniesienia, a dopiero potem pytać, czy szukane x ma być bliżej, dalej, czy dokładnie w ustalonej odległości.
Przykład
|x| < 4
Warunek oznacza wszystkie punkty, które leżą bliżej niż 4 jednostki od zera, czyli wnętrze przedziału od -4 do 4.
Interaktywny diagram osi
Wybierz zależność
Warunek
|x| = 4
Szukamy punktów dokładnie 4 jednostki od zera.
Interpretacja: x = -4 lub x = 4
Szukamy punktów dokładnie 4 jednostki od zera.
Nierówność z modułem opisuje zbiór punktów, które są bliżej albo dalej od punktu odniesienia. Dla a > 0 i r > 0 dostajemy sześć podstawowych schematów.
|x| < a
Szukamy liczb, których odległość od zera jest mniejsza niż a.
-a < x < a
Przykład
|x| < 3 daje -3 < x < 3
To wnętrze przedziału między -a i a. Końców nie bierzemy, bo znak < oznacza odległość ściśle mniejszą.
Interaktywny diagram osi
Wybierz wartość a
Nierówność
|x| < 2
Przedział
-2 < x < 2
Szukamy liczb bliżej niż 2 jednostki od zera.
|x| <= a
Szukamy liczb, których odległość od zera jest najwyżej równa a.
-a <= x <= a
Przykład
|x| <= 4 daje -4 <= x <= 4
To cały przedział od -a do a razem z końcami. Końce należą, bo odległość może być równa a.
Interaktywny diagram osi
Wybierz wartość a
Nierówność
|x| <= 2
Przedział
-2 <= x <= 2
Szukamy liczb oddalonych od zera najwyżej o 2 jednostki.
|x| > a
Szukamy liczb, których odległość od zera jest większa niż a.
x < -a lub x > a
Przykład
|x| > 2 daje x < -2 lub x > 2
To dwie zewnętrzne części osi: daleko w lewo od zera albo daleko w prawo od zera. Środek odpada.
Interaktywny diagram osi
Wybierz wartość a
Nierówność
|x| > 2
Rozwiązanie
x < -2 lub x > 2
Szukamy liczb dalej niż 2 jednostki od zera.
|x| >= a
Szukamy liczb, których odległość od zera jest co najmniej równa a.
x <= -a lub x >= a
Przykład
|x| >= 6 daje x <= -6 lub x >= 6
Bierzemy wszystko, co leży na zewnątrz przedziału, razem z punktami granicznymi.
Interaktywny diagram osi
Wybierz wartość a
Nierówność
|x| >= 2
Rozwiązanie
x <= -2 lub x >= 2
Szukamy liczb oddalonych od zera co najmniej o 2 jednostki.
|x - a| < r
Szukamy liczb leżących bliżej niż r jednostek od punktu a.
a - r < x < a + r
Przykład
|x - 2| < 5 daje -3 < x < 7
Punkt a jest środkiem przedziału, a r działa jak promień w lewo i w prawo. Dostajemy liczby wewnątrz tego przedziału.
Interaktywny diagram osi
Wybierz a i r
Nierówność
|x - 2| < 5
Przedział
-3 < x < 7
Środkiem jest 2, a promień wynosi 5. Rozwiązaniem jest otwarty przedział od -3 do 7.
|x - a| > r
Szukamy liczb leżących dalej niż r jednostek od punktu a.
x < a - r lub x > a + r
Przykład
|x + 1| > 3 daje x < -4 lub x > 2
Odrzucamy pas blisko punktu a. Zostają dwa promienie: po lewej od a - r i po prawej od a + r.
Interaktywny diagram osi
Wybierz a i r
Nierówność
|x - 2| > 5
Rozwiązanie
x < -3 lub x > 7
Środkiem jest 2, a promień wynosi 5. Zostają dwa promienie poza punktami -3 i 7.
Nierówności z < albo <= oznaczają liczby blisko środka. Nierówności z > albo >= oznaczają liczby daleko od środka.
|x| = 5 ma dwa rozwiązania: -5 i 5. Tylko odległość równa 0 daje jeden punkt.
Znak < daje puste kółka, a <= pełne kropki. Analogicznie dla > i >=.
|x - a| to odległość od a. Nie wolno rozdzielać modułu na różnicę modułu i liczby.
Moduł to odległość|x| mierzy odległość punktu x od zera
Przesunięty środek|x - a| mierzy odległość punktu x od punktu a
Odległość dwóch liczbOdległość x i y to |x - y| = |y - x|
NierównościZnak < prowadzi do środka przedziału, a znak > do dwóch zewnętrznych części osi
Kolejny krok
Skoro umiesz już czytać moduł jako odległość na osi liczbowej, przejdź do równań. Tam ta sama intuicja pomaga szybko znaleźć jedno, dwa albo brak rozwiązań.
Przejdź do równań z modułem