Funkcja kwadratowa
Miejsca zerowe i delta
Miejsca zerowe to wartości x, dla których funkcja przyjmuje 0. W funkcji kwadratowej ich liczba zależy od delty.
Sprawdź swoją wiedzę
Krótki quiz pomoże szybko wychwycić, które pojęcia warto jeszcze powtórzyć.
Jak obliczyć deltę?
Dla funkcji f(x) = ax² + bx + c najpierw liczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
Wzór na deltę
Δ = b² - 4ac
Znak delty mówi, czy parabola przecina oś X, styka się z nią, czy leży całkowicie nad albo pod osią.
Punkt przecięcia z osią X
Na wykresie miejscami zerowymi są punkty przecięcia paraboli z osią X. Dla przykładu x² - 2x - 3 są to x = -1 oraz x = 3.
Interpretacja delty
Delta jest szybkim testem liczby rozwiązań równania kwadratowego.
Δ > 0
Dwa miejsca zerowe
Parabola przecina oś X dwa razy.
Δ = 0
Jedno miejsce zerowe
Parabola styka się z osią X w wierzchołku.
Δ < 0
Brak miejsc zerowych
Parabola nie przecina osi X.
Gotowe wzory
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Tych wzorów używamy wtedy, gdy delta jest nieujemna.
Gdy Δ = 0, oba wzory dają ten sam wynik: x₁ = x₂ =-b2a.
Przykład: f(x) = x² - 2x - 3
Krok 1
a = 1, b = -2, c = -3
Wypisujemy współczynniki z postaci ogólnej.
Krok 2
Δ = (-2)² - 4 · 1 · (-3) = 16
Delta jest dodatnia, więc będą dwa miejsca zerowe.
Krok 3
x₁ = (2 - 4) / 2 = -1
Podstawiamy do wzoru z minusem przed pierwiastkiem.
Krok 4
x₂ = (2 + 4) / 2 = 3
Podstawiamy do wzoru z plusem przed pierwiastkiem.
Miejsca zerowe wynoszą x = -1 oraz x = 3, więc postać iloczynowa to f(x) = (x + 1)(x - 3).
Co dalej?
Po opanowaniu delty warto przećwiczyć równania i nierówności kwadratowe, bo tam miejsca zerowe wyznaczają granice przedziałów.